同阶无穷小和等价无穷小(同阶无穷小和等价无穷小高阶无穷小)

游客投稿历史趣闻 2023-09-13 18:00

在微积分中，我们经常会遇到无穷小的概念。其中，同阶无穷小和等价无穷小是最基本的概念之一。同阶无穷小和等价无穷小虽然看起来很像，但还是有很大的区别。让我们仔细看看。

一:同阶无穷小

同阶无穷小是指在进行极限运算时，两个无穷小之比的极限趋于常数。如

果去掉比例中的常数，就是同阶的无穷小。同阶无穷小的比较通常只需要比较各自的最高次幂。

例如，当$x \rightarrow 0$时，$x$和$ x 2 $的限制趋于零。因为$ \ lim \ limits _ { x \ right arrow 0 } \ frac { x 2 } { x } = 0 $，所以$x$和$ x 2 $是同阶无穷小。

二:等价无穷小

等价无穷小是指在进行极限运算时，两个无穷小之比的极限是$1$。也就是说，两个等价无穷小之差可以表示为一个高阶无穷小。

例如，当$x \rightarrow 0$时，$ sin { x } $和$x$的限制趋于零。因为$ \ lim \ limits _ { x \ right arrow 0 } \ frac { \ sin { x } } { x } = 1 $，所以$\sin{x}$和$x$无限小。

三、同阶无穷小与等价无穷小的区别。

同阶无穷小是高阶项的大小，等价无穷小是低阶项的大小。同阶无穷小一般用于求极限的精度，或者两个函数的比较程度；等价无穷小用于判断两个函数的性质是否相似。

例如，当$x \rightarrow 0$时，$ e x-1 $和$x$之间的差异可以表示为

$$e^x-1-x=x+\frac{x^2}{2！}+\frac{x^3}{3！}+...$$

所以$ e x-1 $和$x$是等价的无穷小。

当比较$x$和$\sin{x}$时，它们是同阶的无穷小。但它们是截然不同的，因为$\sin{x}$在$x=0$时的导数是$1$，而$x$只是一个常数。

综上所述，同阶无穷小和等价无穷小是微积分中非常基本的概念，可以用来研究函数的极限值和性质。学习微积分的学生必须掌握这两个概念的区别和用法。

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